Cuadrado Mágico Gaudí

En una entrada anterior comentamos el tema de los cuadrado mágicos y dejamos como ejemplo el de "La Sagrada Familia" de Gaudí. Se proponía al lector la búsqueda de otras combinaciones que sumasen 33. Aquí dejamos las soluciones. Es increíble que pueda haber tantas.

Cuadrados mágicos

Se denominan así unos cuadrados muy especiales en los que al sumar los números que figuran en una columna, en una línea o en cualquiera de las diagonales, el resultado es siempre el mismo. Este resultado invariable es denominado "constante" del cuadrado y al número de casillas de una línea es el módulo del cuadrado.
Es oscuro es origen de los cuadrado mágicos. Se cree que la construcción de estas figuras constituía ya en la época remota un pasatiempo que captaba la atención de gran número de curiosos.
Los matemáticos chinos que vivieron 45 siglos antes de Mahoma, ya conocían los cuadrados mágicos.
El cuadrado mágico de 4 casillas no se puede construir.

En "La Sagrada Familia" de Gaudi, en Barcelona, podemos encontar un ejemplo de estos misteriosos cuadrados. En realidad casi toda la obra de Gaudí esta basada en conceptos Matemáticos.

En el caso de la imagen, la suma es siempre 33. Pero no solo en filas, columnas y diagonales sino en otras muchas combinaciones. Trata de descubrirlas y en proximas entradas daremos la solución.
El hecho de que sumen 33 no es casual. Fué escogido así por el autor debido a que es la edad a la que Cristo murió.

Puedes encontrar mas datos curiosos sobre este tema en la novela "El hombre que calculaba" de Malba Tahan. En este enlace encontraras en capitulo XV dedicado a los cuadrados mágicos:
http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo15.html

La foto me la ha enviado una buena amiga, Rocio. Muchas gracias.

Globoflexia y Geometria = Globometría

Una de las actividades que ofrece las JAEM son los talleres, alli aprendemos de otros porfesores de Matemáticas recursos didácticos para nuestros alumnos. Ha habido muchos y variados en esta ocasión, presento aquí uno que tuvo gran éxito: Taller de globometría.

La Globometría es la interacción entre la globoflexia y la geometría, un recurso didáctico para afrontar tópicos de la geometría del plano y del espacio. Es una nueva perspectiva para identificar elementos geométricos, investigar y descubrir las propiedades inherentes de las figuras geométricas, crear mientras nos divertirnos con las figuras planas y cuerpos espaciales.

Autores: Francisco G. González Martínez , José Vicente Aymerich Miralles y Guillermo Fernández Moreno (todos profesores de Castellón).

Si el tema te interesa puedes encontrar información en los siguientes enlaces:
http://semcv.blogspot.com/2008/11/globometria.html
http://blog.castello.es/index.php?blog=149&title=globometria&more=1&c=1&tb=1&pb=1

Imágenes: http://picasaweb.google.es/smestref/SesiNGlobometrA#

¿Quien dijo que las Matemáticas eran aburridos?

Lo hermoso de los números

Recibimos en nuestro correo muchas presentaciones en powert poin, simpáticas unas veces, que nos tratan de descubrir la belleza de la vida otras, increibles, sorprendestes, del pasado, del futuro...
Hoy comparto con vosotros una presentación que me ha llegado sobre lo hermoso de los números. Hemoso al menos para aquellos a los que nos gustan las Matemáticas, curioso para todos sin excepticón.
Espero que os guste.

Uploaded on authorSTREAM by smjesus

"La soledad de los números primos"

Dejo aqui un estracto de la novela de Paolo Giordano "La solidad de los números primos".
Así comienza el capítulo 21:

Los números primos sólo son exactamente divisibles por 1 y por sí mismos. Ocupan su sitio en la infinita serie de los números naturales y están, como todos los demás, emparedados entre otros dos números, aunque ellos más separados entre sí. Son números solitarios, sospechosos, y por eso encantaban a Mattia, que unas veces pensaba que en esa serie figuraban por error, com perlas ensartadas en un collar, y otras veces que también ellos querrían ser como los demás, números normales y corrientes, y que por algunarazón no podían. Esto último lo pensaba sobre todo por la noche, en ese estado previo al sueño en que la mente produce mil imágnes caóticas y es demasiado débil para engañarse a sí misma.

En primer corso de la universidad había estudiado ciertos números primos más especiales que el resto, y a os que los matemáticos llaman primos gemelos: son parejas de primos sucesivos, o mejor, casi sucesivos, ya que entre ellos siempre hay un número par que les impide ir realmente unidos, como el 11 y el 13, el 17 y el 19, el 41 y el 43. Si se tiene paciencia y se sigue contando, se descubre que dichas parejas aparecen cada vez con menos frecuencia. Lo que encontramos son números primos aislados, como perdidos en ese espacio silencioso y rítmico hecho de cifras, y uno tiene la angustiosa sensación de que las parejas halladas anteriormente no son sino hechos fortuitos, y que el verdadero destino de los números primos es quedarse solos...

Si quieres saber algo más de este libro dejo en enlace de la casa editoral.

Medida de la altura con un péndulo. Solución.

Para calcular la altura, h de la nave de la catedral en primer lugar hallamos la longitud de la lámpara, que puede determinarse a partir del período o de la frecuencia de oscilación de un péndulo simple, constituido por una masa m, suspendida de un cable o hilo inexistente de longitud L.

La expresión del períolo o de la frecuencia de un péndulo simple es: Sustituyendo los valores, tomando g=9,81 m/s^2, y despejando, obtenemos: L=24,82 metros

Por tanto, la altura de la nave, como la amplitud de las oscilaciones es muy pequeña, será:
h=L+2=24,82+2=26,82 metros

Medir la altura de la catedral con un péndulo

Dejamos aqui un problema de Fisica relacionado con la altura de una catedral:
-------------
En una Catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a 2 metros del suelo.
Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0,1 Hz.
¿Cuál es la altura, h, de la nave?
--------------
Cayó en la prueba de Física de Selectividad de Asturias, en Junio de 2007.

Daremos la respuesta en próxima entradas.

Las abejas saben matemáticas

Leyendo la prensa de hoy he encontrado una noticia curiosa "Abejas matemáticas" es el título de artículo que ha captado mi atención.

Según la noticia:

"Un estudio realizado por cietíficos alemanes de la Universidad de Wüzburg ha descubierto que las abejas tienen capacidad matemática y saben contar, aunque sólo sea hasta cuatro".

ABC - 2 de febrero de 2009 - página 55

Que las abejas tienen capacidad matemática es conocido hace tiempo, de hecho la forma de los paneles tienen mucho que ver con ello (consultar el artículo "Ángulo de las celdas de los panales" en wikipedio), pero para mí era totalmente desconocido que sabían contar.

Tenemos mucho que aprender aun de la naturaleza que nos rodea.

Tabla del nueve

... Pero entonces los comprendí. ¡Era tan fácil! Me bastó echar una última mirada a las manos que Farag y yo teníamos entrelazadas: en aquel amasijo, húmedo por el sudor y brillante por la luz, los dedos se habían multiplicado... A mi cabeza volvió, como en un sueño, un juego infantil, un truco que mi hermano Cesare me había enseñando cuando era pequeña para no tener que aprender de memoria las tablas de multiplicar. Para la tabla del nueve, me había explicado Cesare, sólo había que extender las dos manos, contar desde el dedo meñique de la mano izquierda hasta llegar al número multiplicador y doblar ese dedo. La cantidad de dedos que quedaba a la izquierda, era la primera cifran del resultado, y la que quedaba a la derecha, la segunda.

----------------

Párrafo extraido de la novela de Matilde Asensí, "El último Catón"

Números primos

Para marcar los capítulos de los libros se suelen usar los números cardinales 1, 2, 3, 4, 5, 6 etcétera. Pero he decidido usar en mis capítulos los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13 etcétera porque me gustan los números primos.

Así se obtienen los números primos.
Primero escribes todos los números enteros positivos del mundo.

Entonces quitas todos los números que son múltiplos de 2. Después los números múltiplos de 3. Después los números múltiplos de 4 y 5 y 6 y 7 y así sucesivamente. Los números que quedan son los números primos.

La regla para calcular números primos es muy sencilla, pero nadie ha dado con una fórmula para saber si un número muy grande es primo y cuál será el siguiente. Si un número es muy, muy grande, a una computadora puede llevarle años calcular si es un número primo.

Los números primos son útiles para crear códigos y en Estados Unidos los consideran Material Militar y si descubren uno de más de 100 dígitos tienes que decírselo a la CIA y te lo compran por 10.000 dólares. Pero no sería unaforma demasiado buena de ganarse la vida.

Los números primos son lo que queda después de eliminar todas las pautas. Yo creo que los números primos son como la vida. Son muy lógicos pero no hay manera de averiguar cómo funcionan, ni siquiera aunque pasaras todo el tiempo pensando en ellos.

Capítulo 19 del libro "El Curioso incidente del perro de medianoche" de Mack Haddon

Números romanos

Esta es una imagen del "reloj de la torre" de la Catedral Nueva de Salamanca, la ha realizado de Sara Sánchez Martín.

Hemos hablado ya de la peculiaridad de que aparezca doble numeración: para las horas número romanos y para los minutos número arábigos.

Los números que todos usamos (1,2,3,4, etc.) son llamados “números arábigos” para distinguirlos de los “números romanos” (I,II,III,IV,V,VI, etc).

Los árabes popularizaron éstos números, pero su origen se remonta a los comerciantes fenicios que los usaban para contar y llevar la contabilidad comercial.

¿Has pensado alguna vez por qué ........ 1 significa "uno", 2 significa "dos" y 3 significa "tres"?

Los numeros romanos son fáciles de comprender pero: ¿Cuál es la lógica que hay detrás de los números arábigos o fenicios?

Se trata de ángulos.

La lógica está en el número de ángulos. Si se escribe el número en su forma primitiva, rápidamente se verá.
El número 1 tiene un angulo.
El número 2 tiene dos angulos.
El número 3 tiene tres angulos.
El número 4 tiene cuatro angulos. Etc..
Y el "O" no tiene angulos.

Nota: quizá conozcas esta información, es un correo electrónico que alguien me envió.

Vamos a recordar que relación hay entre números romanos y arábigos (los "nuestros").
Para ello te propongo primero que visites esta pagina http://www.tinglado.net/?id=sistemas-de-numeracion-%281%29-los-numeros-romanos
elaborada por Ángel Puente y luego pruebes a resolver algunos ejemplos.

Orientación de las Catedrales

En el artículo anterior podíamos ver una plano donde se distinguen las dos catedrales de Salamanca. Ya comentamos en otra ocasión cómo fue una suerte que se decidiese mantener la catedral Antigua (románica) al construir la nueva, pues generalmente se derruía la primera.
La orientación de las catedrales viene determinada pues por la que se le dio a la Catedral Vieja.
La totalidad de los templos románicos, así como góticos están orientados de la misma forma: con la cabecera del templo hacia el Este.
Oriente es símbolo de nacimiento, de dicha y de paz: por oriente (por el este) sale el sol todas las mañanas. Occidente, el punto contrario es el lugar por el que desaparece la luz dando paso a las tinieblas de la noche y por lo tanto las connotaciones son exactamente las contrarias.
La figura central del cristianismo es Cristo: simultáneamente Dios y hombre.
Todo templo cristiano es un canto a la venida de Cristo al mundo para dar luz. Ego sum lux mundi (Yo soy la luz), dirá Cristo (Juan 8,12).
El sol da la luz al mundo apareciendo por el este, con lo que la analogía está servida. Este recordatorio de la figura de Cristo como luz que alumbra el mundo aparece por doquier en el románico.
Un templo románico (no sólo románico) tiene el ábside orientado hacia el este, de forma que el eje longitudinal de la nave central recorra la dirección oeste-este. La entrada principal del templo suele estar (aunque no siempre) en el punto opuesto: en el oeste, donde se encuentra la fachada principal que recibirá los dorados y últimos rayos del día.
Cuando el fiel entra en el templo, va de las tinieblas a la luz.
La simbología, además de adecuadísima es preciosa. El punto más importante del templo, el altar en el que todo converge, está al este del edificio, en el centro bañado por la primera luz de la mañana que entra por la ventana central del ábside. El paso de los fieles desde la entrada hacia el altar es símbolo del paso de las tinieblas a la luz.

Si los templos tuvieran una orientación cualquiera, como sucede en los neoclásicos, todo esto se pierde. Y con ello se pierde parte de la belleza y riqueza del templo.

La orientación se puede ver mejor en el plano que se encuentra en la pagina web de la propia catedral http://www.catedralsalamanca.org/arteehistoria.htm

Artículo "El Mundo"

A veces un pequeño articulo en la prensa puede aportarnos información útil e interesante, así es el caso de un artículo que publicó el periódico "El Mundo" sobre las Catedrales de Salamanca.

Podemos observar la imagen del plano de las dos catedrales, muy bien diferenciadas por colores.
Una imagen aérea de las mismas, que nos ayuda a comprender mejor como se construyó la Catedral Nueva partiendo de la fachada norte de la Catedral Vieja. Además de disfrutar de una visión poco usual de estos edifícios.
Además de otras informaciones relevantes, algunas de las cuales ya hemos ido comentando en este mismo blog.

Aqui te lo dejo:

elmundo catedral Salamanca - Upload a Document to Scribd

Read this document on Scribd: elmundo catedral Salamanca

Música en las catedrales

Música y Matemáticas están muy relacionadas.


Ya en los inicios, como veíamos en la película: "Donald en el país de las Matemáticas" la escala musical está relacionada con la proporción áurea.



En en trabajo que estamos realizando sobre las catedrales, hay dos detalles muy importantes:

1º Por un lado la música que se encarga para los actos religiosos, en la que grandes músicos han participado. Convirtiéndose así la iglesia en mecenas de artistas.

2º Por otro los instrumentos musicales, como por ejemplo los órganos, que se construyen para dar vida a la música. Así, podemos ver algunos (hay varios) en las Catedrales de Salamanca.

Música de órgano en una Catedral:





Actualmente en la exposición Ierónimus (Catedral de Salamanca) hay una muestra de instrumentos musicales e historia musical de la Catedral.

Rosa de cuatro pétalos

La ecuación genérica de la rosa de cuatro pétalos en coordenadas polares es:
r = a cos 2Q


donde Q es el ángulo.

La ecuación r = asen2Q corresponde a la de una curva similar que se obtiene haciendo girar la curva de la figura 45º en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

En general r = a cos nQ ó r = a sen nQ tiene 2n pétalos si n es par.

En la fachada norte de la Catedral Nueva, sobre una de las puertas de acceso que da a la Plaza de Anaya podemos observar en un rosetón una rosa de cuatro pétalos. Es curiosa pues es realidad son dos rosas, una dentro de otra. Y en la parte central de estas hay una rosa de tres pétalos. Si hacer click sobre la imagen, esta se hace mayor y podrás observarla con más detalle.

Rosa de tres petalos

La ecuación genérica de la rosa de tres pétalos en coordenadas polares es:
r = a cos 3Q

donde Q es el ángulo.

La ecuación r = a sen 3Q corresponde a la de una curva similar que se obtiene haciendo girar la curva de la figura 30º en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

En general r = a cos nQ ó r = a sen nQ tiene n pétalos si n es impar.

Catenaria

La catenaria es la curva que forma un cable pesao y de densidad uniforme cuando se cuelga por sus extremos.

Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron equivocadamente que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no era una parábola, pero no encontró la ecuación.
En 1691, en respuesta a un reto de Jacob Bernoulli, Leibnitz, Huygens, por métodos geométricos, y Johann Bernoulli encontraron la ecuación. Este reto de Jackob Bernoulli, resuelto por Johann, fue el comienzo de la rivalidad entre ellos.
El nombre de catenaria se debe a Huygens.

La ecuación general de la curva en paramétricas es:

x = a ln t,

y = a/2 (t + 1/t)

Siendo "a" la distancia desde el origen hasta la curva.

Si quieres saber algo más sobre esta curva haz click sobre el siguiente enlace: catenaria.

"Estar en capilla"

Ahora que estamos en tiempo es exámenes es curioso recordar algunas de las tradiciones de nuestra ciudad, concretamente la que precede a la expresión: "Estar en capilla".

La frase "Estar en capilla" -hallarse alguien en el trance de pasar una prueba- cuentan que surgió en le claustro de la Catedral Vieja. Más concretamente en la capilla de Santa Bárbara, fundada por el obispo Juan Lucero en 1334, donde se examinaban los alumnos de la prueba de grados.

Los aspirantes al título de Doctor estudiaban allí toda la noche, víspera del examen. Al día siguiente y después de una dura prueba, si el candidato resultaba aprobado, repicaban las campanas y se hacían grandes fastos en su honor. En cambio, si suspendía, su salida se hacía por la puesta de Carros, bajo una lluvia de burlas.

Esperemos que repiquen las campanas...

Imagen: dos fotografias de la capilla de Santa Bárbara.
Arriba, el lugar que ocupa Jorge, es donde se sentaba el alumno a examinarse.
Abajo la cúpula, rica en elementos matemáticos, pues se pasa de una planta cuadrada a un octógono, para llegar a formarla.

Marcas de canteros

Muchos de los canteros y de los Magíster muri tenían una firma o marca de cantero, como forma de identificarse como autor de la obra, ya sea de la cosntrucción en sí, o de la talla de la piedra en cuestión.

Hasta mediados del s. XIX las marcas de cantero no recibieron atención. La hipótesis más generalmente aceptada, expuesta ya en el mencionado siglo por M. Didron y Viollet-le-Duc, es que las marcas de antero son signo lapidarios pertenecientes a la categoría de signaturas personales de los canteros, aparejadores y Maestros de Obra, que en muchos casos servían para señalar el trabajo realizado por cada uno, para así determinar el estipendio correspondiente.

Imagen: Ejemplos de marcas en las piedras. Fotografía realizada por Pablo Quintas.
Fuente: Página web de las Canteras de Villamayor (pincha aqui).

Piedra de Villamayor

Una de las características de las Catedrales de Salamanca es la piedra con que están construidas.
En realidad es un elemento característico de todos los edificios históricos de Salamanca, es más, podríamos decir que de toda la cuidad.
El color miel de esta ciudad es debido a que para las construcción de sus edificios se ha utilizado piedra arenisca de la cantera de Villamayor, situada a unos cuatro kilómetros de Salamanca.

El secreto que hace de esta piedra uno de los tesoros de la zona es, según Miguel Romero, cantero restaurador, "es muy facil de trabajar porque cuando se extrae de la cantera es húmeda y blanda, pero luego, cuando se convierte en sillar o escultura y está en contacto con el aire y el sol, adquiere una dureza sorprendente".

Puedes encontrar más información en la pagina web de Vallamayor de la Armuña, pincha aquí.

Imagen: fotografía realizada desde una de las terrazas de la Catedral Nueva. Al fono la Clerecía. Realizada por Amaya.